反馈系统的闭环传递函数推导（反馈闭环的数学推导）

反馈系统是一种常见的控制系统，其目的是根据现有的输入，得出期望的输出。相比于开环系统，反馈系统具有更加完善和稳定的控制能力。在反馈系统中，闭环传递函数是用于描述输入与输出之间关系的数学模型。本文将会介绍闭环传递函数的推导过程。

第一段：反馈闭环的基本概念

在反馈系统中，闭环传递函数是用于描述输入信号与反馈信号之间关系的函数。它是由输入信号，反馈信号以及系统输出三者之间的关系组成。因此，我们需要定义一些基本概念来描述反馈系统：

• 输入信号：反馈系统需要监测的输入信号，通常是由外部环境提供的。
• 系统输出：反馈系统所产生的输出，其结果应该与输入信号尽可能的接近。
• 反馈信号：反馈系统中获取的信号，用于衡量系统的性能和作出调整。
• 误差信号：反馈系统输出与期望输出之间的差距，可代表系统性能的好坏。

在这个基础上，我们可以推导闭环传递函数。

第二段：闭环传递函数的推导过程

首先，我们需要定义一些符号：

• Y(s) - 系统输出的拉普拉斯变换函数
• R(s) - 输入信号的拉普拉斯变换函数
• E(s) - 误差信号的拉普拉斯变换函数
• C(s) - 控制器的拉普拉斯变换函数
• P(s) - 系统的传递函数（开环）
• H(s) - 反馈系统的传递函数（闭环）

从图中可以看出，系统的输入信号R(s)通过控制器C(s)作用于系统P(s)的输入端，产生系统的输出Y(s)。另外，反馈信号F(s)也被引入到控制器中，并与系统输出Y(s)相减，产生误差信号E(s)。误差信号E(s)被用来修正控制器的输出，从而影响外部输入信号R(s)。这个过程可以用以下的数学公式来表示：

E(s) = R(s) - Y(s)

C(s) = H(s) × P(s)

因此，系统的输出Y(s)可以表达为：

Y(s) = P(s) × C(s) = H(s) × P(s) × R(s) - H(s) × P(s) × Y(s)

将上述公式转换为下列形式：

Y(s) + H(s) × P(s) × Y(s) = H(s) × P(s) × R(s)

移项可得：

Y(s) = H(s) × P(s) / (1 + H(s) × P(s)) × R(s)

这个就是闭环传递函数，将上述的公式转换为时域函数，可以得到：

y(t) = [h(t) * p(t) * r(t)] - [h(t) * p(t) * y(t)]

y(t) + h(t) * p(t) * y(t) = h(t) * p(t) * r(t)

y(t) = [h(t) * p(t) / [1 + h(t) * p(t)]] * r(t)

这个公式就是用于描述反馈系统输出与输入之间关系的闭环传递函数。

第三段：示例分析

在实际应用中，我们需要根据具体的情况，选择恰当的开环传递函数和反馈传递函数。例如，在控制机器人的过程中，需要使用准确的反馈控制系统，以确保机器人的运动精度。如果我们使用PID控制器作为控制器，并采用角度反馈模式，则闭环传递函数可以表示为：

y(t) = Kp x r(t) + Ki x ∫r(t)dt + Kd x [dr(t)/dt] + Kf x [df(t)/dt]

其中，Kp、Ki、Kd、Kf 分别代表比例、积分、微分以及前馈系数。

下面我们假设，在这个系统中，比例系数是1，积分系数是0.5，微分系数是0.2，前馈系数是0.3，则闭环传递函数可以写成：

H(s) = Kp + Ki/s + Kd*s + Kf = 1 + 0.5/s + 0.2s + 0.3

在这个例子中，我们可以看出反馈系统的闭环传递函数可以根据具体的系统要求进行选取，以达到精确控制的目的。

总结

通过本文的介绍，我们了解了反馈系统的闭环传递函数的基本概念，并更深入的了解了闭环传递函数的推导过程。同时，我们还以机器人的控制系统为例，说明了闭环传递函数的应用示例。实际应用中，我们可以根据系统要求，选择适当的反馈闭环传递函数，以达到更加精确和稳定的控制效果。希望这篇文章能够帮助大家更好的理解反馈系统的闭环传递函数。